Cada sección cónica tiene su propia forma estándar de una ecuación con variables x e y que se puede graficar en el plano de coordenadas. Puedes escribir la ecuación de una sección cónica si se te dan puntos clave en el gráfico.
Ecuaciones
Ser capaz de identificar qué sección cónica es cuál con sólo la ecuación es importante porque a veces eso es todo lo que se te da (no siempre se te dirá qué tipo de curva estás graficando). Ciertos puntos clave son comunes a todas las cónicas (vértices, focos y ejes, por nombrar algunos), así que empieza por trazar estos puntos clave y luego identificar qué tipo de curva forman.
Secciones cónicas
Las ecuaciones de las secciones cónicas son muy importantes porque te dicen no sólo qué sección cónica deberías estar graficando sino también cómo debería ser la gráfica. La apariencia de cada sección cónica tiene tendencias basadas en los valores de las constantes de la ecuación. Usualmente estas constantes son referidas como a, b, h, v, f, y d. No todas las cónicas tienen todas estas constantes, pero las cónicas que las tienen son afectadas de la misma manera por cambios en la misma constante. Las secciones cónicas pueden tener diferentes formas y tamaños: grandes, pequeñas, gordas, delgadas, verticales, horizontales y más. Las constantes enumeradas anteriormente son las culpables de estos cambios.
Una ecuación tiene que tener x2 y/o y2 para crear una cónica. Si ni x ni y están al cuadrado, entonces la ecuación es la de una recta. Ninguna de las variables de una sección cónica podrá elevarse a otra potencia que no sea una o dos.
Ciertas características son únicas para cada tipo de cónica y le sugieren cuál de las secciones cónicas está graficando. Para reconocer estas características, el término x2 y el término y2 deben estar en el mismo lado del signo igual. Si lo son, entonces estas características son las siguientes:
- Círculo. Cuando x e y están al cuadrado y los coeficientes en ellos son los mismos – incluyendo el signo.por ejemplo, eche un vistazo a 3×2 – 12x + 3y2 = 2. Observe que x2 e y2 tienen el mismo coeficiente (positivo 3). Esa información es todo lo que necesitas para reconocer que estás trabajando con un círculo.
- Parábola. Las ecuaciones y = x2 – 4 y x = 2y2 – 3y + 10 son ambas parábolas. En la primera ecuación, ves un x2 pero no un y2, y en la segunda ecuación, ves un y2 pero no un x2. Nada más importa – los signos y los coeficientes cambian la apariencia física de la parábola (de qué manera se abre o cuán gorda es) pero no cambie el hecho de que es una parábola.
- Elipse. La ecuación 3×2 – 9x + 2y2 + 10y – 6 = 0 es un ejemplo de elipse. Los coeficientes de x2 y y2 son diferentes, pero ambos son positivos.
- Hiperbola. Cuando x e y están al cuadrado, y exactamente uno de los coeficientes es negativo y exactamente uno de los coeficientes es positivo. La ecuación 4y2 – 10y – 3×2 = 12 es un ejemplo de una hipérbola. Esta vez, los coeficientes de x2 y y2 son diferentes, pero exactamente uno de ellos es negativo y el otro es positivo, lo que es un requisito para que la ecuación sea el gráfico de una hipérbola.
